Introducción

En este caso la fuerza de extracción F_t tiene dos componentes, una vertical F_y y una horizontal F_x. La fuerza F_y ya ha sido estudiada en el capítulo anterior (aunque más adelante volveremos a considerarla a efectos del giro de la zapata).

Hará falta que nos fijemos ahora con lo que pasa con la fuerza F_x

A fin de garantizar la estabilidad, el cimiento se opondrá a esta fuerza F_x de diversas formas:

• R_e resistencia lateral del terreno, ejercida por el empuje en reposo E₀
• R_f por rozamiento de la base R_b y los laterales R_l del cimiento con el terreno
• R_f = R_b + R_l
• R_c resistencia a compresión que pueda soportar el pavimento, si hay.

R_x = R_e + R_f + R_c

Vamos a estudiar cada uno de estos factores de estabilización.

Resistencia lateral del terreno

Se trata del recurso más importante y más fiable a la hora de estabilizar la fuerza horizontal aplicada al cimiento. En muchos casos no hay pavimento, por lo tanto R_c = 0, y si la fuerza vertical de extracción Fy es igual al peso del cimiento (lo cual ya hemos visto que es más que probable), el rozamiento de la base del cimiento también será 0, R_b = 0. Si añadimos la posibilidad que el rozamiento de las paredes laterales R_l también sea cero, debido a la lluvia o humedad del terreno, tendremos que R_x = R_e

En el capítulo anterior hemos comentado el valor del empuje en reposo E₀ de un terreno sobre el cimiento. Nos era necesario para considerar el rozamiento vertical entre la cara del cimiento y el terreno. En el caso presente no nos interesa el rozamiento sino el propio empuje en reposo E₀, ya que es él el que se tiene que oponer al desplazamiento horizontal de la zapata.

Si la fuerza F_x superase la resistencia total R_x del cimiento se produciría un desplazamiento del cimiento hacia el terreno y, automáticamente, el terreno desarrollaría una resistencia mucho mayor, llamado empuje pasivo E_p. Si no contamos con este empuje pasivo es debido al hecho que, para que se manifieste este empuje, hace falta que el cimiento se desplace y eso no suele interesar en construcciones estables.

En construcciones tradicionales, un desplazamiento horizontal del cimiento provoca inmediatamente fisuras o grietas del mismo orden que el movimiento que se ha producido. Si tenemos en cuenta que este desplazamiento puede ser fácilmente del orden de 10 a 20 mm, ya se ve que es completamente impensable aprovechar este empuje pasivo en aquel tipo de edificios.

En construcciones tensadas, el problema no es tan grave, ya que no hay elementos susceptibles de tener grietas (paredes, tabiques, etc.). No obstante, un desplazamiento grande del cimiento provocaría una pérdida de tensión en los elementos de tracción (cables, lonas, etc.), por lo tanto, tampoco no es aconsejable utilizar el empuje pasivo.

Ahora bien, es cierto que el empuje pasivo puede utilizarse, en algunos casos, como recurso para obtener el correspondiente coeficiente de seguridad para la resistencia horizontal, ya que solo en situaciones excepcionales entraría en carga, y solo con valores un poco por encima del empuje en reposo. Además, en estas situaciones excepcionales siempre quedaría el recurso de re-tensar la estructura: los cables, la membrana, etc.

Rozamiento

En el capítulo anterior ya hemos hecho las consideraciones generales sobre el rozamiento que se genera entre las caras laterales del cimiento y del terreno. En este capítulo comentaremos solo las diferencias que puede haber en el caso de una fuerza de extracción inclinada.

• El rozamiento (tanto vertical como horizontal) de las caras laterales es igual al que hemos considerado en el caso de la fuerza de extracción vertical. Habrá que hacer solamente una reflexión en el caso que se supere la resistencia del empuje en reposo y el cimiento se desplace un poco. El rozamiento de la cara opuesta al empuje en reposo sería cero, ya que no hay contacto entre el cimiento y el terreno. Ahora bien, en general no superaremos nunca la resistencia del terreno producida por el empuje en reposo.
• El rozamiento (exclusivamente horizontal) de la base del cimiento con el terreno solo se puede tener en cuenta cuando el peso propio del cimiento, y el pavimento que hay encima, superen la fuerza vertical de extracción F_y, utilizando para el calculo solo la diferencia entre estas dos fuerzas: F_y and peso propio.

Pavimento

En el caso que el cimiento esté recubierto por un pavimento continuo sobre la superficie del terreno donde se encuentra situado, hará falta evaluar la colaboración de este elemento. Todo aquello que tenga que ver con la fuerza vertical de extracción ya ha sido evaluado en el capítulo anterior. En este capítulo haremos referencia, solo, a la fuerza horizontal F_x.

La resistencia a compresión de la losa de hormigón suele ser muy grande. Si consideramos un hormigón tipo HA-25, su resistencia estará alrededor de 250 kg/cm². Por lo tanto una losa de hormigón de 10cm de grosor seria capaz de soportar una fuerza horizontal de 10 t solo con una anchura de 4 cm. De cualquier forma, hace falta comprobar que las dimensiones globales de la losa sean suficientes para generar una resistencia de rozamiento igual a la fuerza horizontal aplicada.

Para obtener una resistencia de 10 t, por ejemplo, consideraremos un coeficiente de rozamiento de 0,43 (valor normal), y hará falta que el peso de la losa vinculada al cimiento estudiado sea

P = F_x / 0.43 = 10 / 0.43 = 23.25 t

equivalente a un volumen

V = 23.25 t / 2.3 t/m³ = 10 m³ approx.

que corresponde a una superficie de losa de

S = 10 / 0.1 = 100 m² (approx. 10 x 10 m)

Otro punto que hace falta considerar es el grosor de la losa del pavimento. Si este grosor es pequeño se podría provocar fácilmente una deformación por pandeo de la losa. Afortunadamente, la mayoría de losas de pavimentos tienen grosores suficientes para evitar este pandeo, pero se trata de un factor que no se puede obviar en absoluto.

Resistencia total

Tal y como hemos hecho en el caso de la fuerza de extracción vertical, intentaremos resumir el comportamiento de un cimiento ante una fuerza de extracción inclinada. En cuanto a la componente vertical podemos repetir el mismo listado de valores, de los cuales depende su resistencia:

• dimensiones del cimiento, normalmente (a, b, h) o (ø, h)
• densidad del material del cimiento (normalmente hormigón armado)
• características del suelo que envuelve el cimiento:
  – coeficiente del empuje en reposo K₀
  – densidad g
  – ángulo de rozamiento interno f
  – cohesión C
• rugosidad del contacto terreno – cimiento
• si hay pavimentos por encima del cimiento
  – peso total del pavimento (por unidad de superficie)
• si hay una losa de hormigón armado
  — grosor de la losa
  – resistencia a cortante τ del hormigón
  – comprobación de la resistencia a flexión de la losa
  – comprobación de la suficiencia del peso total de la losa

F_y < R_Tv = R_w + R_fv + R_s(t)

En cuanto a la componente horizontal podemos añadir

• si hay pavimento por encima del cimiento: resistencia a compresión σ del hormigón

F_x < R_Th = R_E0 + R_fh + R_s(σ)

Coeficiente de seguridad

En el estudio de la fuerza vertical hemos comentado que el coeficiente de seguridad aplicable puede ser el genérico de valor 1,5 o superior y como es aconsejable compensar la fuerza de extracción vertical F_y con peso propio (cimiento y pavimento, si los hay), dejando la resistencia de rozamiento y cortante de la losa de pavimento como valores que nos ayudan a cumplir con el mencionado coeficiente de seguridad.

En el caso de la fuerza horizontal F_x podemos hacer una consideración similar, en el sentido que podemos considerar la resistencia del terreno a empuje pasivo (muy superior al empuje en reposo) como un factor que nos ayuda a llegar a cumplir con el factor de seguridad, pero nunca como resistencia básica en frente a la fuerza F_x. El tema de la resistencia a compresión del pavimento es más difícil de aconsejar, ya que a diferencia del cortante, esta resistencia no se ve demasiado afectada por posibles fisuraciones de la losa y, por lo tanto, es un valor bastante seguro que podemos tener siempre en cuenta.

Un criterio bastante razonable seria confiar con el empuje en reposo del terreno en una proporción determinada (RE₀ ≥ 0.5 · Fx; RE₀ ≥ 0.75 · Fx; …). No obstante, en la mayoría de los casos, donde la fuerza horizontal no es grande, es muy posible que la losa de hormigón del pavimento (si la hay) sobrepase de forma exagerada la resistencia horizontal necesaria. En este caso seria absurdo prescindir de esta aportación y dedicarse a buscar una resistencia por empuje en reposo del terreno que obligase a hacer más grande el cimiento. Así pues:

R_E0 + R_s(σ) ≥ F_x (con losa de hormigón)

(R_E0 ≥ F_x) (sin losa de hormigón)

R_Th = R_E0 + R_fh + R_s(σ) ≥ f_s · F_x (sin contar con el empuje pasivo)

R_Th = R_Ep + R_fh + R_s(σ) ≥ f_s · F_x (con el empuje pasivo)

Giro de la zapata

Además de las consideraciones constructivas comentadas en el capítulo anterior, (respecto a la armadura del cimiento correspondiente a fuerzas de extracción), hará falta que nos paremos, cuando existan fuerzas horizontales, a estudiar el tema del giro del cimiento.

Si hay un solera de hormigón armado capaz de contrarrestar la fuerza horizontal F_x, al estar estas dos fuerzas prácticamente alineadas, las dos acciones se anulan y no provocan ningún giro. Si no es así, el equilibrio de fuerzas entre la acción horizontal F_x y la resistencia del empuje en reposo RE₀ no están alineadas y por lo tanto se genera un momento.

El caso óptimo seria aquel donde el anclaje del cable, que provoca tracción, se encuentre en una posición determinada, tal que las fuerzas de tracción, el peso propio de la zapata y el empuje en reposo del terreno pasen por un punto determinado. De esta manera no se genera ningún momento desequilibrante y por lo tanto no habrá giro de la zapata.

Ahora bien, hace falta reconocer que este no es el caso habitual, ya que no siempre es posible colocar este anclaje de forma que se produzca esta concordancia. Normalmente, para simplificar la construcción y evitar errores, el anclaje del cable se suele colocar en el centro de la zapata. De esta manera, aunque haya equilibrio de fuerzas, se genera un momento que tiende a volcar la zapata.

El centro de giro real de este bloque de hormigón es muy complicado de determinar, ya que depende de la comprensibilidad del terreno que envuelve la zapata, pero es evidente que este punto se encuentra en la pared de contacto, donde se produce el empuje en reposo que se opone al desplazamiento. Y, además, muy próximo al punto de la resultante del empuje, es decir, hacia los dos tercios de la profundidad de la zapata.

Si tomamos momentos respecto a este punto, el momento de vuelco será

M_b = F_x · 2/3 · h

y la forma de equilibrarlo más fácil es utilizar el exceso de peso propio (cimiento y pavimento, si los hay), que provoca un momento contrario equilibrante

M_e = (R_w – F_y) · ½ · a

De esta forma obtenemos un coeficiente de seguridad f_s igual a

f_s = M_e / M_b

Si el valor f_s no fuese suficiente, 1,5 por ejemplo, habría que aumentar el peso de la zapata. Pero si modificamos las dimensiones de la zapata podemos hacer otras consideraciones:

• Si aumentamos la longitud a, aumentaríamos el brazo de palanca del momento equili­brante.
• Si aumentamos la anchura b, aumentaríamos el valor del empuje en reposo.
• Si aumentamos la profundidad h, aumentaríamos el valor del empuje en reposo pero también el valor del momento de vuelco M_e, aunque a partir de una profundidad grande (como es el caso de un pilote), el cimiento ya no se comportaría como un sólido totalmente rígido, sino que empezarían a generarse deformaciones por flexión y, al fin y al cabo, el análisis seria mucho más complejo.>

Ejemplos

Se trata de diseñar un cimiento capaz de soportar una fuerza de tracción inclinada 63º con los valores siguientes

F_t = 6.23 t (F_x = 2.5 t ; F_y = 5 t )

Los datos del terreno en el cual se sitúa el cimiento son:

• densidad suelo g = 1.9 t/m³
• ángulo de rozamiento interno del suelo f = 35º
• rugosidad de las caras laterales de la zapata = normal
• densidad del hormigón = 2.3
• ángulo de fricción suelo-hormigón f(f) = tg (2f /3) = 0.43
• K₀ = 0.4

Caso 1

Suponemos que la zapata se encuentra en una zona donde no hay ningún tipo de pavimento por encima del cimiento. Por lo tanto la lluvia afecta directamente el terreno y puede anular la capacidad de rozamiento entre la zapata y el terreno continuo.

Nos podemos plantear diversas posibilidades:

1a)

El anclaje del cable que provoca la tracción inclinada se sitúa sobre el cimiento de forma que la dirección del cable, el eje vertical del centro de gravedad y la resultante del empuje en reposo del terreno se encuentran en un punto. De esta forma evitamos el vuelco del cimiento. Esto obliga a dimensionar el cimiento cuidadosamente a fin de que el anclaje no quede fuera de la cara superior de la zapata.

Teniendo en cuenta que el peso de la zapata tiene que ser como mínimo de 5t (F_y), necesitaremos un volumen aproximado de V = 5 / 2,3 = 2,2 m³. Predimensionaremos una zapata de 1,5x1x1,5 m con la configuración siguiente:

• a = 1.5 (dimensión en planta en la dirección de la fuerza F_x)
• b = 1 (dimensión en planta perpendicular a la dirección de la fuerza F_x)
• h = 1.5 (profundidad de la zapata)

Teniendo en cuenta que la resultante del empuje en reposo está a dos tercios de la profundidad de la zapata, es decir a 1 m (2/3 de 1,5), el anclaje se situara a 50 cm del eje de la zapata, es decir a 25 cm del extremo. Un poco justo pero posible.

Pasamos a comprobar los coeficientes de seguridad ante las dos fuerzas.

El empuje en reposo de la cara que se opone al desplazamiento es

E₀ = b · ½ · K₀ · g · h² = 0.5 · 0.4 · 1.9 · 1.5² = 0.855 t

El rozamiento horizontal entre dos caras laterales y el terreno

R_fl = 2 · a · ½ · K₀ · g · h² · f(f) = 1.5· 0.4 · 1.9 · 1.5² · 0.43 = 1.10 t

El rozamiento horizontal en el fondo de la zapata, teniendo en cuenta el peso de la zapata

R_w = (1 · 1.5 · 1.5) · 2.3 = 5.17 t

R_ff = (F_y – R_w)· f(f) = 0.17 · 0.43 = 0.075 t

En total la resistencia a la fuerza horizontal es E₀ + R_fl + R_ff = 2.03. que no llegará ni a igualar la fuerza F_x = 2.5 t. Menos aún pensar en un coeficiente de seguridad. Por lo tanto habrá que aumentar las dimensiones de la zapata.

Suponemos, pues, una zapata cúbica de 1.5 x 1.5 x 1.5 m³ y rehacemos los cálculos anteriores.

E₀ = b · ½ · K₀ · g · h² = 0.75 · 0.4 · 1.9 · 1.5² = 1.283 t

R_fl = 2 · a · ½ · K₀ · g · h² · f(f) = 1.5· 0.4 · 1.9 · 1.5² · 0.43 = 1.10 t

R_w = (1.5 · 1.5 · 1.5) · 2.3 = 7.763 t

R_ff = (F_y – R_w)· f(f) = 2.763 · 0.43 = 1.188 t

E₀ + R_fl + R_ff = 3.571

Con estos valores el coeficiente de seguridad en frente a las fuerzas horizontales es

= 3.571 / 2.5 = 1.423

Vemos que no se llega al típico 1,5 por muy poco. Si tenemos en cuenta que en caso de superarse el equilibrio horizontal, se desarrollaría una resistencia pasiva del terreno E_p que fácilmente puede llegar a valores del doble del empuje en reposo E₀, podemos considerar este valor de f_s (1,423) como aceptable.

En cuanto a la fuerza vertical vemos que solo con el peso propio de la zapata el coeficiente de seguridad ya supera el valor de 1,5, sin contar con ningún tipo de rozamiento lateral.

F_s = 7.763 / 5 = 1.55

1b)

Suponemos el mismo caso que 1a), pero esta vez no contaremos el rozamiento lateral de la zapata. Esto puede ser debido a dos razones: el terreno es susceptible de tener retracción (sobretodo en arcillas) o la lluvia puede mojar el terreno en profundidad y anular el rozamiento. En estas circunstancias

E₀ = b · ½ · K₀ · g · h² = 0.75 · 0.4 · 1.9 · 1.5² = 1.283 t

R_w = (1.5 · 1.5 · 1.5) · 2.3 = 7.763 t

R_ff = (F_y – R_w)· f(f) = 2.763 · 0.43 = 1.188 t

E₀ + R_ff = 2.471 t

Con estos valores no llegamos a compensar la fuerza horizontal F_x = 2,5 t. Hace falta pues volver a aumentar las dimensiones del cimiento. Aumentaremos el frente de la zapata que recibe el empuje en reposo del terreno, b = 2m

E₀ = b · ½ · K₀ · g · h² = 1 · 0.4 · 1.9 · 1.5² = 1.71 t

R_w = (1.5 · 2 · 1.5) · 2.3 = 10.35 t

R_ff = (R_w – F_y) · f(f) = 5.35 · 0.43 = 2.3 t

E₀ + R_ff = 4.01 t

f_s = 4.01 / 2.5 = 1.6

valor más que suficiente y que, incluso, permitiría ajustar un poco la medida del cimiento.

Caso 2

Suponemos que el anclaje del cable que provoca la fuerza de extracción se sita en el centro de la zapata. De esta forma, como ya hemos comentado, aunque haya equilibrio de fuerzas, se genera un momento que tiende a volcar la zapata.

Así, si tomamos de ejemplo el caso 1b), pero colocando el anclaje en el centro de la zapata, veremos que tenemos un momento de vuelco M_b

M_b = F_x · 2/3 · h = 2.5 · 2/3 · 1.5 = 2.5 tm

y un momento contrario equilibrante M_e

M_e = (R_w – F_y) · ½ · a = (10.35 – 5) · ½ · 1.5 = 4.01 tm

y un coeficiente de seguridad f_s

f_s = 4.01 / 2.5 = 1.6

que son valores aceptables. Si no fuese así, habría que aumentar el peso de la zapata. Pero además podemos hacer las consideraciones siguientes:

• Si aumentásemos la longitud a, aumentaríamos el brazo de palanca del momento equilibrante.
• Si aumentásemos la anchura b, aumentaríamos el valor del empuje en reposo.
• Si aumentásemos la profundidad h, aumentaríamos el valor del empuje en reposo pero también el valor del momento de vuelco M_e, aunque a partir de una profundidad grande, el cimiento ya no se comportaría como un sólido totalmente rígido, sino que empezaría a generarse deformaciones por flexión y al fin y al cabo todo el análisis será mucho más complejo.

Caso 3

Suponemos que el anclaje del cable que provoca la fuerza de extracción se sita en el centro de la zapata. pero que por encima del cimiento hay un pavimento que incorpora una losa de hormigón armado de 10 cm de grosor, con un peso total del pavimento de 350 kg/m².

Con un hormigón HA-25, solo nos hace falta una superficie de 2500 / 250 = 10 cm² para soportar la fuerza horizontal, valor ridículo en una losa de 10 cm de grosor. Ahora bien, para que el rozamiento R_fh de la losa del pavimento con el suelo compense esta fuerza, necesitaremos un peso total R_wl de la losa de

R_fh = R_wl · f(f) –> R_wl = R_fh / f(f) = 2.5 / 0.43 = 5.81 t

que corresponde a una superficie de la losa de 5,81 t / 2,5 t/m³ = 2,32 m², lo cual es una superficie muy pequeña y por lo tanto seguro que podemos contar con este rozamiento de la losa y el terreno.

Así, si la fuerza horizontal ya esta compensada, el problema se resuelve equilibrando la fuerza vertical y este ejercicio ya lo hemos hecho en el capítulo anterior. Rápidamente podemos hacer el análisis y obtener unos valores comparativos con el caso 1 y 2.

El peso de la zapata será igual a la fuerza vertical de extracción F_y menos el peso del pavimento. Si suponemos una zapata de superficie en planta 1,2 x 1,2 m², el peso del pavimento será

R_wp = 1.2 · 1.2 · 0.35 = 0.5 t

R_w = F_y – R_wp = 5 – 0.5 = 4.5 t

si consideramos la densidad del hormigón del cimiento de 2,3 t/m³ tendremos que

V = 4.5 / 2.3 = 1.96 m³

h = 1.96 / (1.2 · 1.2) = 1.36 m

por lo tanto la zapata tendrá unas dimensiones de 1,2×1,2×1,4 m. En este caso no nos hará falta preocuparnos por el coeficiente de seguridad a la extracción vertical, ya que la resistencia a cortante de una losa de hormigón armado de 10 cm de grosor y un perímetro de 1,2×1,2 m, es muy superior al que necesitaríamos.

Resumiendo y comparando los resultados tenemos